Oppsumering av TFE4146

Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.

Grunnleggende om halvledere

Historie

  • 1830 - Mekanisk
  • 1944 - Elektromekanisk
  • 1946 - Releer og radiorør
  • 1948 - Transistor
  • 1958 - Første IC
  • 1971 - Første mikroprosessor
  • 2020 - Der i er i dag med nanoelektronikk

Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal. Skal dobles hver 18-24 måneder.

Halvledere

Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer

Atomer og elektroner

Uskarphetsrelasjonen

Δxδpx2

Paulti prinsippet

To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.

Schrödingers likning

22m2Ψ(x,t)x2+V(x)Ψ(x,t)=j22mΨ(x,t)t
Løsninger
ψ(x)=Ae±ikxE=2k22m

Partikkel i en “boks”.

Partikkel i en boks

Tette bånd

Effektiv masse

m=2d2Edk2

Ser på krumningen til energien i k-rommet. Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.

Intrisisk materiale

Inneholder bare en type materiale.

n=p=ni

Der n er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i cm3. p er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i cm3. Og ni er den intrisiske elektrontettheten, målt i cm3.

Intrisisk materiale

Ekstrinsiske materialer

Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale.

I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).

n-type

n0p0,ni

Der n0 er elektrontettheten i termisk likevekt.

p-type

p0n0,ni

Der n0 er elektrontettheten i termisk likevekt.

Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer

Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.

ri=gi ri=αn0p0=αni2=gi

Bærertetthet

Bærertetthet

Hvordan beskrive hvordan e og h+ er fordelt i CB og VB.

δn(E)=N(E)f(E)δE

Der

  • δn(E) er tettheten av e i CB.
  • N(E) er mulige av elektrontilstander
  • f(E) er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
  • δE er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det Eg.

Finnes flere typer

  • Isotropisk båndstruktur
  • Anisotropisk båndstruktur
NC(E)=4π(2mh2)32E12

Fermi-Dirac

f(E)=11+expEEFkBT
Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger

Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger

I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet. For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.

Frie elektroner og hull

Ved å se på “summen” av elektrontilstander, NC og sannsynligheten for å finne dem der.

0f(E)NC(E)dE

Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.

n0=2(2πmnkBTh2)32NceECEFkBT

Som forkortet, og på samme måte for p0

n0=NceECEFkBT,Nc=2(2πmnkBTh2)32 p0=NveEFEVkBT,Nv=2(2πmpkBTh2)32

Noen resultater

n0p0=NcNveEgkBT nipi=NcNveEgkBT

Som sammen med ni=pi, gir følgende:

n0p0=ni2

Dette gir oss igjen

n0=nieEFEikBT p0=nieEiEFkBT

Noen eksempler på bærertetthet

DOS

Drift av ladningsbærere

Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.

Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning. Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.

Strømmen er beskrevet av følgende:

Jx=q(nμn+pμp)Ex

Der

μn=qτmnogμp=qτmp

Hall-effekten

Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.

Hall-effekten

Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:

F=q(E+v×B)

Ved påtrykt strømm, Jx og magnetfelt B vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.

La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.

Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.

Tettheten vil da være gitt som under.

Ey=Jxqp0Bz=RHJxBz RH1qp0

Som gir følgende

p0=IxBzqtVAB

Diffusjon

Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.

Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.

To viktige parameter i diffusjon:

  • Spredningstiden τ, gjennomsnittlig spredningsintervall
  • Spredningslengden l¯, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger

Elektronfluxen gitt av diffusjon

For elektroner:

ϕn(x)=Dndn(x)dx,der Dn=l¯22τ

For hull:

ϕp(x)=Dpdp(x)dx,der Dn=l¯22τ

Dn og Dp kalles diffusjonskonstantene.

Strømmen gitt av diffusjon

For elektroner:

Jndiff=qDndn(x)dx

For hull:

Jpdiff=qDpdp(x)dx

Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt

For elektroner:

Jn(x)=qμnn(x)E(x)+qDndn(x)dx

For hull:

Jp(x)=qμpp(x)E(x)qDpdp(x)dx

Der summen av disse gir den totale strømmen:

J(x)=Jn(x)+Jp(x)

Einsteinrealasjonen

I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.

Jp(x)=qμpp(x)E(x)qDpdp(x)dx=0

Som gir:

E(x)=Dpμp1p0(x)dp(x)dxE(x)=Dpμp1kBT(dEi(x)dxdEF(x)dx)

Ved termisk likevekt er dEF(x)dx=0 og dEi(x)dx=qE(x). Dermed får vi Einsteinrelasjonen:

Dμ=kBTq

Kontinuitetslikningen

Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.

Kontinuitet av strømmer

δn(x,t)t=1qJn(x,t)xδnτn δp(x,t)t=1qJp(x,t)xδpτp

Steady State

Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.

Bit med halvleder

Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.

δp(x=0)=Δp

Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten. Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:

dδpdx2=δpDpτpδpLp2

Der LpDpτp.

Denne har en generell løsning:

δp=C1expxLp+C2expxLp

Og med grensebetingelser, δp(x=0)=Δp og δp(x)=0, gir det oss:

δp(x)=ΔpexpxLp

Haynes-Shockley eksperimentet

Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.

Haynes-Shockley Teori

Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.

Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen. Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid td.

Haynes-Shockley Eksperiment

P-N-overganger

Bakgrunn

PN biter

Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale. Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.

dEFdx=0 nnnp pppn

Når bitene med dopet silisium blir satt sammen, vil det settes opp et overgangsområde.

PN satt sammen

PN tegning

For å analysere dette, gjøres det noen forenklinger

  1. Stegovergang, skarp p-n-overgang
  2. 1D analyse av ladningstransport
  3. E-feltet er satt til 0 utenfor overgangsområdet
  4. Deplesjonstilnærming

PN ladning

PN E-felt

Noen viktige prinsipper

Gauss’ lov

dE(x)dx=qϵ[p(x)n(x)+Nd+Na]

Deplesjonstilnærming

p(x)=n(x)=0innenfor Wρ(x)=0utnfor W dE(x)dx=qϵNd+for 0<x<xn0dE(x)dx=qϵNafor xp0<x<0

Bredden av deplesjonsområdet

Ved å sette sammen deplesjnstilnærmingen og Guass’ sammen får vi et uttrykk for spenningen og bredden på deplesjonsområdet.

V0=12E0W

Der E0=Ndxn0=Naxp0.

Som igjen gir

V0=12qϵNaNdNa+NdW2

Som vi løser for W og får,

W=2ϵV0q(1Na+1Nd)

Forspent overgang

Positiv forspenning er definert som å koble positiv terminal til p-siden og - til n-siden. Negativ forspenning er det motsatte.

Forspenningen vil ha alt spenningsfallet over deplesjonsområdet W. Med andre ord vil E-feltet endre størrelse med forspenningen. Desto større negativ forspenning, desto større E-felt (opp til et visst punkt). For positive forspenninger vil vi minke E-feltet med økt positiv forspenning.

Forspent p-n-overgang

Kvalitativ analyse

Steady State p-n-overgang

Steady State p-n-overgang

Vi kan nå evaluere hullstrømmen.

Ip(xn)=qADpdδp(xn)dxn=qADpLpδp(xn)

Der strømmen inn i deplesjonsområdet er gitt ved

Ip(xn=0)=qADpLpΔpn=qADpLppn[expqVkBT1]

For elektroner, er det et minustegn foran, som skifter retningen, men ellers helt lik.

In(xp=0)=qADnLnΔnp=qADnLnnp[expqVkBT1]

Videre bruker vi enda en forenkling:

S6 All strømmen som sendes inn i deplesjonsområdet vil ende opp på andre siden.

Ip(xp=0)=Ip(xn=0)In(xp=0)=In(xn=0)

Dette gir oss en total strøm:

I=Ip(xn=0)+(In(xp=0))

Setter alt sammen og får “diodelikningen”:

I=qA[DpLppn0+DnLnnp0][expqVkBT1]

Dersom vi setter I0[DpLppn0+DnLnnp0], kan vi skrive:

I=I0[expqVkBT1]

Alternativ måte å løse denne på

Den baserer seg på at det finnes ladninger på hver side av deplesjonsområdet. Det er da mulig å integrere over ladningene og se på gradienten ved xp=xn=0.

Alternativ måte å løse likningen på

Sammenbruddsdioder

Dersom man reversforspenner (negativ forspenning) så vil situasjonen der dioden får et sammenbrudd skje. Sammenbruddet er kun elektronisk og ikke skadelig for dioden, med mindre man setter på veldig mye negativ forspenning.

Sammenbrudd

Zenersammenbrudd

Et Zenersammenbrudd baserer seg på kvantetunnelering mellom energibåndene i dioden. Elektronene kan da “hoppe” fra valensbåndet til ledningsbåndet.

Zener

Avalanche Breakdown (Skredsammenbrudd?)

Baserer seg på at ved et stort E-felt i sperreretning vil elektroner få stor hastighet. Når elektronene treffer et atom el. vil den kunne “sparke løs” et annet elektron-hull-par. Dette medfører at det nå er to elektroner i ene retningen og to hull i andre retningen.

Avalanche Breakdown

Transienter i en p-n-overgang

Stegtransient

Vi vil se på tilfellet der vi skrur av strømmen abrupt ved t=0.

Kommer tilbake til dette…

Forskjellige typer p-n-overganger

Også sees på senere

Felt Effekt Transistorer (FET)

Historie

  • 1915 - Første radiorør
  • 1926 - Patent på en CuS FET
  • 1934 - Design av en FET
  • 1947 - Den første transistoren ble laget
  • 1954 - Første transistor i Si
  • 1959 - Første IC
  • 1960 - Første MOSFET
  • 1971 - Intel kom med første komersielle mikroprosessor, Intel 4004

Forskjellige typer FET

JFET

JFET (Junction Field Effect Transistor), fungerer ved å styre/modulere bredden på deplesjonsområdet på en revers forspent p-n-overgang, ved hjelp av en påsatt spenning VG. Dette medfører at vi kan kontrollere strømmen mellom kilde (source) og brønn (drain) kontaktene.

JFET

MESFET

Fungerer på samme måte som en JFET, men styrer bredden på deplesjonsområdet i en Schottky diode. Dette er derfor en Metall-Silisium overgang (M-S overgang).

MESFET

MOSFET

Dette er den mest brukte transistoren i dag. Her er gate-kontakten elektrisk separert fra resten av transistoren med et isolerende lag. Transistoren fungerer da ved å sette opp mellom gate og substratet i transistoren for å lage en elektrisk ledene kanal mellom kilde og brønnkontaktene. Det er derfor den har navnet MOSFET, Metal-Oksid-Silikon Felt Effekt Transistor (Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor).

MOSFET

Fordeler med FET over BJT

  • Høy inngangsimpedanse.
    • I JFET er det pga. en revers forspend p-n-overgang.
    • I MESFET er det pga. en revers forspent m-s-overgang.
    • I MOSFET er det pga. en isolator mellom gate og resten av transistoren.
  • Veldig god som en bryter for å styre mellom en ledende tilstand og en ikke ledende tilstand.
  • Negativ temperaturkoeffisient ved store strømmer, som gjør den veldig stabil.
  • Har ingen lagring av minoritetsladningsbærere, som fører til ingen uønsket kapasitanse.
  • Har høyere endringshastighet (switching speed) enn en vanlig BJT.

Virkemåte til en transistor

En transistor har i prinsippet to funksjoner:

  1. Forsterkning av små AC-signaler.
  2. Som en bryter, for å styre en strøm.

Virkemåte Transistor

I-V-kurve

Strømmen til en transistor kan beskrives med spenningen over transistoren.

iD=f(vD)

Der lastlinjen er definert som

iD=ERvDR

For en komponent med to terminaler vil vi kun ha disse likningene, men for en komponent med tre poler kan vi også styre hvordan f(vD) fungerer ved hjelp av vG.

JFET

Animasjon av JFET

JFET sett fra siden

En JFET er bygget opp av et lett dopet n-materiale og et tungt dopet p-materiale. Vi får da et deplesjonsorådet mellom disse to, og det er dette vi styrer ved å sette på en spenning på gate-/portterminalen, vG.

JFET forenklet

Det er mulig å “fjerne” bitene med terminalene og kun se på overgangen, med portterminalen. For en liten strøm iD vil spenningen over transistoren, vD, avta monotont og lineært.

Pinch-off

Pinch off JFET

Vi antar det er et neglisjerbart spenningsfall fra kilde- til brønn kontakten. Vi kobler også porten (gate) til jord, $v_G

For en liten strøm iD, vi bredden på det ledende n+-området være tilnærmet konstant.

Ved å øke strømmen ID, spenningen over transistoren, VD, og bredden på deplesjonsområdet ved slukkontakten, WD=W(x=0), øke.

Ved kildekontakten vil bredden på deplesjonsområdet, WS=W(x=L), være tilnærmet uendet. Spenningen fra port til kanalen, Vx, vil endre seg med x gjennom transistoren.

Spenningen over deplesjonsområdet er nå VGD=VD og VGS=0. VGD øker med iD, helt til deplesjonsområdet dekker hele bredden av kanalen og vi har oppnådd “pinch-off”.

Strømmen blir sublineær og går over mot metning. Da er det kun spenningen på porten som styrer strømmen gjennom transistoren.

Dette ligner veldig på å revers forspenne en p-n-overgang.

Portkontroll

Dersom vi er i metningsområdet, kan vi kontrollere strømmen gjennom transistoren ved hjelp av spenningen på porten.

Ved å sette VGS<0V kan vi minke strømmen gjennom transistoren, ved å gjøre “pinch-off” større/lengere.

Vi kan da regne ut bredden av deplesjonsområdet.

Bredde av deplesjon i JFET

Vi kan da bruke bredden av en p-n-overgang til å beregne dette:

W(x=0)=2ϵ(VGD)qNd

Pinch off skjer i enden med slukkontakten, med en kombinasjon av VG og VD. Vi har også at bredden på kanalen er gitt ved:

h(x=0)=aW(x=0)

I pinch off har vi VGDVP. Vi får da:

2ϵVPqNd=a VP=qa2Nd2ϵ

Ved å integrere over området, kan vi finne strømmen gjennom transistoren:

ID=gmVG

Der vi har definert transkonduktansen som:

gm=ID(sat.)VG=G0[1(VGVP)12]

Der vi bruker G02aZρL.

MOSFET

MOSFET

Bakgrunn

Mest brukte transistoren i bruk i dag.

Dette er fordi den er veldig allsidig i sin bruk, lett å integrere og er billig å produsere.

Det finens to typer MOSFET.

  • Enchancement mode eller n-channel MOS (forkortet nMOS).
    • God til å trekke signalet mot “OFF”.
  • Depletion mode eller p-channel MOS (forkortet pMOS).
    • Gid til å trekke signalet mot “ON”.

Tilsammen utgjør de cMOS, som er complimentary MOS.

Ideell MOS kondensator

Ideell MOS

Qd=qNAWm=2ϵsqNAΦF=2ϵsNakBTln(NAni)

Arbeidsfunksjon

Metall-Oksid-overgangen:

qΦm=oxide CBminEFm

Oksid-Silikon-overgangen:

qΦs=oxide CBminEFs

I en ideell MOS:

ΦmΦs

Definerer deretter et potensiale, ϕfEiEFsq, som beskiver dopingen til silikonet.

Sterk inversjon

Sterk inversjon er definert når et p-type materiale er like mye n-type som p-type.

Maksimal deplesjonsbredde:

Wm=2ϵsϕsqNa

Sterk inversjon når:

ϕs=2ϕF=2kBTqln(NAni)

Terskelspenning

Terskelspenningen er da gitt ved:

VT=QdCi+2ϕF

Effektive arbeidsfunksjoner

For “flat band contitions”, ϕs=0, må vi sette på en spenning VFB.

VFB=Φms=ΦmΦs

For reelle MOS, vil vi få noen bidrag fra urenheter og unøyaktigheter.

VFB=ΦmsQiCi VT=ΦmsQiCiQdCi+2ϕF

Forspenning på substratet

Ved å sette på en spenning på substratet eller bulken, kan vi endre på oppførselen og terskelspenningen til transistoren.

VT=ΦmsQiCiQdCi+2ϕF

Der

Qd=2ϵsqNa(2ϕFVB)

Bipolar transistor

Virkemåte

Baserer seg på strømmen av minoritetsladninger. Den styres av rekombinasjonen av elektron og hull i baseområdet.

Collectorstrømmen er basert på hull som diffunderer gjennom transistoren.

BJT currents

BJT Minority Charge

Forenklinger (for p+-n-p)

  1. Injeserte hull i basen beveger seg fra B -> E bare ved hjelp av diffusjon.
  2. Emitterstrømmen er bare strømmen fra injeserte hull i emitter. Krever en p+-n-overgang.
  3. Den reverse metningsstrømmen i collectorkontaken kan neglisjeres.
  4. Generasjon/rekominasjon i emitter/collector er neglisjerbare (ideell diode).
  5. Uniform strøm gjennom overgangene. Strømmen beveger seg ish bare i en retning.
  6. Alle strømmer og spenninger er Steady State.

Operasjon

BJT operation modes