Hva er bølger?
Bevegelse av partikler i et medium.
Dispersive gjør at signalet kan endre seg over tid og strekning. Bølgehastigheten er avhengig av frekvensen.
Ikke-dispersive betyr at bølgen beveger seg med samme hastighet hele tiden, og vil derfor være lik ved alle distanser.
Bølger kan inteferere.
Kurset handler mest om EM-bølger, men mekaniske bølger er enklere. Det er da kun trykk som beskriver en bølge, mot en vektor med flere komponenter i EM-bølger.
Velocity potential:
\[WIP\]Velocities at depth:
\[WIP\]Dispersjonsrelasjonen i havbølger
\[\omega^2 = gk \tanh kd\]Der $g$ er tyngdeakserelasjonen, $k$ er bølgetallet og $d$ er dybden.
Forskjellige typer bølger
Longitudinale: Langsgående bølger.
Transversale: Bølger som beveger seg normalt på propageringsretningen.
Matematisk
Bølgene er løsningen på bølgelikningen i forskjellige dimensjoner.
\[\ddot{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u\]Denne løses som en partiell differensiallikning.
En ikke-dispersiv hamonisk bølge er definert:
\[p(x, t) = \hat{p} \sin(\omega t - kx)\]Der $\omega = 2\pi f$ er frekvensen, $k = \tfrac{\omega}{c}$ er bølgekonstanten, $c$ er propageringshastigheten og $\hat{p}$ er bølgeamplituden.
Lydbølger
Lydbølger er endringer i lydtrykket rundt standardtrykket/det statiske trykket.
\[\underbrace{P_\text{total}(x,t)}_{\text{Lufttrykk, [Pa]}} = \underbrace{P_\text{atm}}_\text{Statisk trykk} + \underbrace{p(x,t)}_\text{endringer i trykket, lyd}\]Bølgelikningen for lydbølger:
\[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}\]Helmholtz’ likning
Spesialtilfelle av bølgelikningen når bølgen er en harmonisk svingning.
\[p(x,t) = p(x) e^{j\omega t}\]Den tidsavhengige faktoren kan faktoriseres ut av likningen og vi står igjen med en ODE.
\[\frac{\partial^2 p(x)}{\partial x^2} + k^2 p(x) = 0\]